Physique Chimie
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  Melzani M.,
lycée Pierre de
Coubertin,
Meaux
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  Petites notes diverses, pour moi-même ou pour les autres/

Sommaire




Incertitudes, régression linéaire, logiciels




Mesures de conductivité à l'aide d'une caméra thermique

Expériences de mesures de température sur une barre d'aluminium et une barre de laiton.

Deux expériences sont présentées :

  • Une mesure du profil $T(z)$ le long des barres en régime permanent, quand une des extrémités de chaque barre est sur une plaque chauffante (situation du type ailette de refroidissement). Ceci permet d'avoir une mesure de $\lambda/h$, rapport de la conductivité thermique sur le coefficient d'échange conductoconvectif.

  • Une mesure du refroidissement $T(t)$ en un point fixe de chaque barre une fois qu'on les retire de la plaque chauffante. Ceci permet d'en déduire une mesure de $h$, et donc en reprenant la première expérience d'en déduire une valeur de $\lambda$.

On obtient des résultats plutôt convaincants.

Lien vers le document.

Lien vers le script Python pour la simulation numérique.

           



Ressources autour du moteur de Stirling






À propos du bouillant de Franklin

Un enregistrement de \(p\) et \(T\) dans le ballon (que l'on peut certainement perfectionner) et une interprétation.



Voir aussi la fiche manip du cours avec l'exercice associé, qui montre que l'on peut estimer une chute de pression \(\dfrac{\text{d}p}{\text{d}t} = -\dfrac{rT}{V_v} \dfrac{T-T_\text{ext}}{R_\text{th} u_\text{vap}} \sim 300\,\mathrm{hPa/s}\), cohérente avec l'interprétation donnée.



Perte de charge régulière et vérification de la loi de Blasius

Objectifs de ce document :
  • Vérifier la loi de Blasius pour la perte de charge régulière en régime turbulent.
  • Discuter certaines questions que l'on peut se poser sur cette manip (perte de charge à l'entrée, a-t-on \(p=p_0\) en sortie dans le jet, etc.).

Le protocole est le plus simple possible, cf image :

La loi de Blasius indique que \(\Delta p_c = \dfrac{1}{2}\rho U^2\,\lambda \dfrac{L}{d}\), avec \(\lambda = 0.316R_e^{-0.25}\).

On n'arrive pas vraiment à la confirmer ici... il faudra essayer à nouveau avec des Reynolds plus petits et plus de points !



Propriétés de l'eau, humidité absolue

  • Humidité relative, définition : \(HR = \dfrac{p_\mathrm{H_2O}}{p_\mathrm{sat}(T)}\)

  • Humidité absolue : \(HA = \dfrac{m_\mathrm{H_2O}}{m_\text{air\,sec}}\), les masses étant celles de l'eau et de l'air contenus dans un même volume $V$.

  • Or on a $m_\mathrm{H_2O} = n_\mathrm{H_2O}\times M_\mathrm{H_2O}$. Et $m_\mathrm{air\,sec} = n_\mathrm{air}\times M_\mathrm{air}$, avec $M_\mathrm{air} = 29\,\text{g/mol}$ la masse molaire de l'air (sec). On a $n_\mathrm{air} = n_\text{tot}-n_\mathrm{H_2O}$.

    D'où \begin{equation*} \text{HA} = \dfrac{n_\mathrm{H_2O}}{n_\text{tot}-n_\mathrm{H_2O}}\dfrac{M_\mathrm{H_2O}}{M_\mathrm{air}} \end{equation*}

  • On utilise ensuite $n_\mathrm{H_2O} = n_\text{tot}\dfrac{p_\mathrm{H_2O}}{p_\text{tot}}$ (par définition de la pression partielle), puis $p_\mathrm{H_2O} = \text{HR}\times p_\text{tot}$ (par définition de HR).

    On obtient donc finalement \begin{equation*} \boxed{\text{HA} = \dfrac{\text{HR}\,\frac{p_\mathrm{H_2O}}{p_\text{tot}}}{1-\text{HR}\,\frac{p_\mathrm{H_2O}}{p_\text{tot}}}\dfrac{M_\mathrm{H_2O}}{M_\mathrm{air}} = 15.1\,\mathrm{g/kg}.} \end{equation*}


Il faut un modèle pour \(p_\mathrm{sat}(T)\). Voir par exemple sur wikipédia. On peut retenir la formule de Rankine par exemple (moins de 5% d'erreur dans la fourchette 0.01°C - 150°C, jusqu'à 10% au dela (on peut tracer la comparaison sous Python avec le module CoolProp)).



Code Python associé à la figure :



Il y a d'autres formules empiriques pour les propriétés de l'eau, voir par exemple wikipédia, ou un livre sur les propriétés de l'eau.

On peut aussi utiliser le diagramme de l'air humide, cf sur Wikipédia ou sur cette page en bas.




Force de choc lors d'une chute en escalade

Quelques notes accompagnants un exercice sur l'escalade (lien vers l'exercice).

La force s'exerçant sur un grimpeur lors d'une chute est donnée par
\(F = mg\left(1+\sqrt{1+\dfrac{2\alpha\,f}{mg}}\right) \simeq \sqrt{2mg\alpha\,f}\),
avec :
  • \(m\) la masse du grimpeur,
  • \(g\) la pesanteur,
  • \(\alpha = YS\) le produit du module d'Young de la corde par sa section (on peut prendre \(\alpha \simeq 4\times10^4\mathrm{N}\) si on veut un ordre de grandeur, voir remarques ci-dessous),
  • \(f = h/L_0\), le rapport de la hauteur de chute par la longueur de la corde qui absorbe la chute. Ce facteur \(f\) est appelé facteur de chute.

La conclusion importante à tirer de cette expression est que la force de choc dépend du facteur de chute \(f=h/L_0\).

Ainsi, une chute d'un mètre sur une corde de 50cm (\(f=2\)) est beaucoup plus dangereuse qu'une chute de 4m sur une corde de 8m (\(f=0.5\)).

Ici \(f = 2/7 \simeq 0.3\) (image extraite du site de Petzl et simplifiée, voir l'originale ici.)

Les cordes d'escalade à simple (utilisées sur un seul brin) doivent répondre à des normes strictes, dont :
  • résister 5 fois de suite à la chute d'une masse de 80kg avec un facteur de chute \(f=1.78\) (la corde doit donc être suffisamment résistante);
  • pour cette même chute, induire une force de choc \(F\) sur le grimpeur de moins de 12kN, qui est une valeur au dela de laquelle le grimpeur subit des blessures (la corde doit donc être suffisamment élastique).

On voit donc, avec ces normes, qu'une chute avec un facteur de chute qui atteint 2 (donc chute d'une hauteur \(h\) valant deux fois la longueur de la corde) va (i) dépasser les normes de résistance : il y a risque de rupture, (ii) induire une force de choc supérieure à 12kN et donc causer des blessures graves au grimpeur.

On comprend alors les recommandations suivantes, extraites de la notice d'utilisation d'une longe dynamique (donc faite avec une corde) :
Le facteur de chute est, de gauche à droite, de 0, 1 et 2 !

(Tout ceci est à modérer par le fait qu'une chute en condition réelle est moins sévère qu'une chute normative utilisée pour les tests : en conditions réelles l'assureur va "décoller" légèrement, absorbant ainsi une partie de l'énergie, etc. Des tests montrent ainsi que la force de choc en conditions réelles, pour une même hauteur de chute, même corde, même masse, est en moyenne deux fois moins importante que lors des tests, cf ici).

Quelques remarques pour finir :
  • A propos de la valeur de \(\alpha\) : on trouve \(4.5\times10^4\mathrm{N}\) avec la formule non approchée pour \(F=12kN\), \(m=80kg\), \(f=1.8\), c'est-à-dire pour la valeur limite imposée par les normes. \(\alpha\) est en réalité probablement inférieur. Par exemple si on veut coller avec les points expérimentaux mesurés par Petzl (\(F=6kN\), \(m=80kg\), \(f=0.7\)) il faut prendre \(2.4\times10^4\mathrm{N}\). La valeur réelle est probablement entre les deux.

  • La formule approchée \(F \simeq \sqrt{2mg\alpha\,f}\) est valable pour \(\Delta l \ll h\). En comparant les deux formules on voit qu'elle donne un résultat correct à 50% près. La valeur obtenue est inférieure à celle de la formule exacte. Voir ci-dessous une comparaison pour \(m=80kg\) et \(\alpha=4\times10^4\mathrm{N}\)



Le tonneau de Pascal (et conservation de l'énergie)

En 1646, Blaise Pascal réalise l'expérience suivante : il rempli un tonneau d'eau, et y insère un tuyau vertical de hauteur $h=10\,\mathrm{m}$ égalament rempli d'eau. Le tonneau explose (ou plutôt se met à fuir), ce qui montre que le tuyau vertical d'eau, bien qu'il contienne en tout à peine un litre d'eau, engendre une force très importante sur les parois du tonneau !

L'explication usuelle

En haut du tuyau, à l'air libre, la pression est la pression atmosphérique $p=p_0=1\,\mathrm{bar}$. En bas du tuyau, la pression vaut \begin{equation*} p_1 = p_0+\rho g h = 2\,\mathrm{bar}. \end{equation*} La pression qu'exerce l'eau sur la face supérieure du tonneau est donc de 2 bar (et de même sur toutes les faces du tonneau, à un terme en $\rho g z$ près qu'on peut négliger dans le tonneau). 2 bar dedans pour 1 bar dehors, ceci fait une résultante donnée par \begin{equation*} F = (p_1-p_0)S, \end{equation*} soit $3\times 10^5\,\mathrm{N}$ pour un tonneau de rayon 1m, c-à-d une force équivalente à 30 tonnes !

On a ainsi une situation qui semble bien paradoxale : on exerce une force équivalente à 30 tonnes simplement en plaçant une colonne d'eau de 10m de hauteur, quelle que soit la hauteur de cette colonne. Si la section du tuyau est de $1\,\mathrm{cm^2}$, alors cette colonne d'eau pèse 1kg seulement... Et l'effet et le même si sa section est de $0.1\,\mathrm{cm^2}$ et donc sa masse de 100g. Comment ceci génère-t-il une telle force ? L'énergie est-elle conservée ?

Disons d'abord qu'il n'y a aucune erreur de raisonnement et que l'effet est bien réel et tel que décrit ci-dessus.


Intermède : la presse hydraulique, simple bras de levier

Pour mieux comprendre, il faut d'abord parler d'un autre dispositif : la presse hydraulique. Puis nous verrons à la fin que le tonneau de Pascal n'est qu'un exemple de presse hydraulique.

Considérons donc le dispositif modélisé et schématisé ci-dessous.

On exerce une force $f$ sur la surface mobile $s$. Le liquide est supposé incompressible. On souhaite déterminer la force qui s'exerce sur la surface mobile $S$ lorsqu'elle est maintenue fixée. La pression $p$ dans le fluide est donnée par $p = f/s$. Cette pression est la même au niveau de la surface $S$ car nous somme dans un fluide. On a donc une force \begin{equation*} F = p\times S = f\times\dfrac{S}{s}. \end{equation*} Ceci peut être très très supérieur à $f$ si $S\gg s$.

On a donc un dispositif qui permet de démultiplier une force. Rien de surprenant là dedans, il existe d'autres dispositifs ayant le même effet : bras de levier, poulies, engrenages... La presse hydraulique est par ailleurs utilisée dans l'industrie, ou encore pour actionner les freins d'une automobile.


Parlons énergie :

Tant qu'il n'y a pas de déplacement des parties mobiles, il n'y a pas de travail et donc le bilan d'énergie est nul. Supposons maintenant que la surface $s$ se déplace d'une distance $l$ : il faut pour cela fournir un travail \begin{equation*} W(f) = fl. \end{equation*} Le fluide étant incompressible, ceci entraîne un déplacement de la section $S$ d'une distance $L$ telle que $SL = sl$. Le travail reçu par la surface $S$ est donc \begin{equation*} W(F) = FL = F\times\dfrac{s}{S}l = fl = W(f). \end{equation*} Aucun problème de conservation de l'énergie donc : la force est démultipliée d'un facteur $S/s$, mais il faut en contre partie effectuer un déplacement $l$ qui est $S/s$ fois plus long, si bien que le travail des deux forces reste égale.

Retour au tonneau : c'est une simple presse hydraulique

Retournons au cas du tonneau de Pascal. Remplaçons le tuyau vertical d'eau par un piston de section $s = 1\,\mathrm{cm^2}$ sur lequel on place une masse $m=1\,\mathrm{kg}$. Ce piston exerce alors dans l'eau du tonneau une pression \begin{equation*} p = p_0 + mg/s = 2\,\mathrm{bar}. \end{equation*} L'effet est donc exactement le même qu'avec la colonne d'eau de 10m.

Considérons la surface $S$ du tonneau (face supérieure, coté, peu importe) : on est précisément dans le cas de la presse hydraulique. On comprend ainsi mieux les choses :

  • Le tonneau de Pascal est une simple presse hydraulique. En particulier le rôle de la colonne d'eau dans le tuyau vertical est simplement d'appuyer de son propre poids sur une section $s$ petite. La force exercée sur la section $S$, plus grande, des parois du tonneau est alors très importante.

  • Pas de problème de conservation d'énergie : comme pour la presse hydraulique, si les parois du tonneau se déforment, alors le travail responsable de cette déformation sera donné par le travail du déplacement de l'eau dans le tuyau, qui devra descendre d'une hauteur $\Delta z$ telle que \begin{equation*} m_\text{colonne-eau}g\Delta z = W(\text{deformation-tonneau}). \end{equation*}


Ce que souligne cette expérience

Cette expérience ne souligne rien de plus que celle de la presse hydraulique, c'est-à-dire le comportement très particulier de la pression dans un fluide : celle-ci est isotrope, et le fluide "pousse" dans toutes les directions avec la même force surfacique. Remplaçons le liquide de la presse hydraulique par un solide (de la glace par exemple) : la force $f$ est alors répercutée vers le bas dans la glace, et rien ne s'exerce sur la surface $S$, au contraire du cas avec liquide. Remplaçons le liquide par du sable par exemple : des phénomènes de voûtes vont faire que le résultat du liquide ne s'applique pas non plus (voir modèle de Janssen et ses applications aux silos à grains et aux sabliers...).


Liens

Lien vers une vidéo de l'émission "On n'est pas que des cobayes", où les expérimentateurs tentent de faire exploser le tonneau : lien Youtube. Il semble impossible d'obtenir une explosion, mais bien quelques fissures.



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