Physique Chimie
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  Melzani M.,
lycée Pierre de
Coubertin,
Meaux
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  Notes diverses, pour moi-même ou pour les autres/

Rubriques :

Des discussions expérimentales, descriptions de manips :


Des discussions plutôt côté théorie :




Le tonneau de Pascal (et conservation de l'énergie)

En 1646, Blaise Pascal réalise l'expérience suivante : il rempli un tonneau d'eau, et y insère un tuyau vertical de hauteur $h=10\,\mathrm{m}$ égalament rempli d'eau. Le tonneau explose (ou plutôt se met à fuir), ce qui montre que le tuyau vertical d'eau, bien qu'il contienne en tout à peine un litre d'eau, engendre une force très importante sur les parois du tonneau !

L'explication usuelle

En haut du tuyau, à l'air libre, la pression est la pression atmosphérique $p=p_0=1\,\mathrm{bar}$. En bas du tuyau, la pression vaut \begin{equation*} p_1 = p_0+\rho g h = 2\,\mathrm{bar}. \end{equation*} La pression qu'exerce l'eau sur la face supérieure du tonneau est donc de 2 bar (et de même sur toutes les faces du tonneau, à un terme en $\rho g z$ près qu'on peut négliger dans le tonneau). 2 bar dedans pour 1 bar dehors, ceci fait une résultante donnée par \begin{equation*} F = (p_1-p_0)S, \end{equation*} soit $3\times 10^5\,\mathrm{N}$ pour un tonneau de rayon 1m, c-à-d une force équivalente à 30 tonnes !

On a ainsi une situation qui semble bien paradoxale : on exerce une force équivalente à 30 tonnes simplement en plaçant une colonne d'eau de 10m de hauteur, quelle que soit la hauteur de cette colonne. Si la section du tuyau est de $1\,\mathrm{cm^2}$, alors cette colonne d'eau pèse 1kg seulement... Et l'effet et le même si sa section est de $0.1\,\mathrm{cm^2}$ et donc sa masse de 100g. Comment ceci génère-t-il une telle force ? L'énergie est-elle conservée ?

Disons d'abord qu'il n'y a aucune erreur de raisonnement et que l'effet est bien réel et tel que décrit ci-dessus.


Intermède : la presse hydraulique, simple bras de levier

Pour mieux comprendre, il faut d'abord parler d'un autre dispositif : la presse hydraulique. Puis nous verrons à la fin que le tonneau de Pascal n'est qu'un exemple de presse hydraulique.

Considérons donc le dispositif modélisé et schématisé ci-dessous.

On exerce une force $f$ sur la surface mobile $s$. Le liquide est supposé incompressible. On souhaite déterminer la force qui s'exerce sur la surface mobile $S$ lorsqu'elle est maintenue fixée. La pression $p$ dans le fluide est donnée par $p = f/s$. Cette pression est la même au niveau de la surface $S$ car nous somme dans un fluide. On a donc une force \begin{equation*} F = p\times S = f\times\dfrac{S}{s}. \end{equation*} Ceci peut être très très supérieur à $f$ si $S\gg s$.

On a donc un dispositif qui permet de démultiplier une force. Rien de surprenant là dedans, il existe d'autres dispositifs ayant le même effet : bras de levier, poulies, engrenages... La presse hydraulique est par ailleurs utilisée dans l'industrie, ou encore pour actionner les freins d'une automobile.


Parlons énergie :

Tant qu'il n'y a pas de déplacement des parties mobiles, il n'y a pas de travail et donc le bilan d'énergie est nul. Supposons maintenant que la surface $s$ se déplace d'une distance $l$ : il faut pour cela fournir un travail \begin{equation*} W(f) = fl. \end{equation*} Le fluide étant incompressible, ceci entraîne un déplacement de la section $S$ d'une distance $L$ telle que $SL = sl$. Le travail reçu par la surface $S$ est donc \begin{equation*} W(F) = FL = F\times\dfrac{s}{S}l = fl = W(f). \end{equation*} Aucun problème de conservation de l'énergie donc : la force est démultipliée d'un facteur $S/s$, mais il faut en contre partie effectuer un déplacement $l$ qui est $S/s$ fois plus long, si bien que le travail des deux forces reste égale.

Retour au tonneau : c'est une simple presse hydraulique

Retournons au cas du tonneau de Pascal. Remplaçons le tuyau vertical d'eau par un piston de section $s = 1\,\mathrm{cm^2}$ sur lequel on place une masse $m=1\,\mathrm{kg}$. Ce piston exerce alors dans l'eau du tonneau une pression \begin{equation*} p = p_0 + mg/s = 2\,\mathrm{bar}. \end{equation*} L'effet est donc exactement le même qu'avec la colonne d'eau de 10m.

Considérons la surface $S$ du tonneau (face supérieure, coté, peu importe) : on est précisément dans le cas de la presse hydraulique. On comprend ainsi mieux les choses :

  • Le tonneau de Pascal est une simple presse hydraulique. En particulier le rôle de la colonne d'eau dans le tuyau vertical est simplement d'appuyer de son propre poids sur une section $s$ petite. La force exercée sur la section $S$, plus grande, des parois du tonneau est alors très importante.

  • Pas de problème de conservation d'énergie : comme pour la presse hydraulique, si les parois du tonneau se déforment, alors le travail responsable de cette déformation sera donné par le travail du déplacement de l'eau dans le tuyau, qui devra descendre d'une hauteur $\Delta z$ telle que \begin{equation*} \begin{aligned} &m_\text{colonne-eau}g\Delta z \\ & = W_\text{deformation-tonneau}. \end{aligned} \end{equation*}


Ce que souligne cette expérience

Cette expérience ne souligne rien de plus que celle de la presse hydraulique, c'est-à-dire le comportement très particulier de la pression dans un fluide : celle-ci est isotrope, et le fluide "pousse" dans toutes les directions avec la même force surfacique. Remplaçons le liquide de la presse hydraulique par un solide (de la glace par exemple) : la force $f$ est alors répercutée vers le bas dans la glace, et rien ne s'exerce sur la surface $S$, au contraire du cas avec liquide. Remplaçons le liquide par du sable par exemple : des phénomènes de voûtes vont faire que le résultat du liquide ne s'applique pas non plus (voir modèle de Janssen et ses applications aux silos à grains et aux sabliers...).


Liens

Lien vers une vidéo de l'émission "On n'est pas que des cobayes", où les expérimentateurs tentent de faire exploser le tonneau : lien Youtube. Il semble impossible d'obtenir une explosion, mais bien quelques fissures.



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