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  Melzani M.,
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  Systèmes d'unités

Rubriques :

Introduction |

I - Comment définir des unités ? | ← vous êtes ici

II - Les motivations des redéfinitions : exemple historique du mètre |

III - Liens entre définition et mise en pratique d'une unité |

IV - Exemple d'une redéfinition moderne : le kilogramme |

Biblio et webographie |




I - Comment définir les unités ?

 

1.a - Le mécanisme général de définition

Commençons par fixer les notations. On reprend l'exemple de l'introduction, $L = 122\,\text{mm}$.

Une mesure est l'attribution, à une grandeur physique donnée, d'une valeur numérique et d'une unité : \begin{equation*} L = \{L\}\,\text{unité}, \end{equation*} ceci signifiant que la grandeur physique $L$ mesure $\{L\}$ fois l'unité choisie.
$\{L\}$ est la valeur numérique, que nous notons avec des crochets.
On parle aussi d'étalon pour désigner l'unité.

Il faut bien noter que la valeur numérique $\{L\}$ dépend de l'unité : \begin{equation*} \begin{split} L &= 122\,\text{mm} \\ &= 0.122\,\text{m} \\ &= 4.80\,\text{pouce} \\ &= 6.59\times10^{-5}\,\text{mille}\,\text{marin}, \end{split} \end{equation*} ce qui montre bien qu'à une même grandeur physique (qui se réfère donc à un objet ou phénomène réel, toujours le même) on peut associer plusieurs couples {$\{L\}$, unité}. En toute rigueur, nous devrions donc écrire $\{L\}_\text{unite}$ pour l'indiquer. Ainsi $\{L\}_\text{m} = 0.122$ et $\{L\}_\text{pouce} = 4.80$. Nous ne le ferons pas toujours afin d'alléger les notations.

La longueur $L$ est par contre immuable : la tige d'acier ne se dilate pas lorsque nous changeons d'unité pour la mesurer !

 

Les moyens de définir une unité semblent à première vue assez variés :

  • Le kilogramme d'avant la réforme de 2018 est par définition la masse d'un cylindre de platine iridié stocké à Sèvre (nommé "Prototype International du Kilogramme, ou PIK).

  • Depuis 1983, le mètre est défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en une durée donnée.

  • Depuis 1967, la définition de la seconde est un décompte d'un nombre fixé d'oscillations de l'atome de césium entre deux niveaux d'énergie choisis.

  • Le SI d'après 2018 fixera la valeur numérique de la constante de Planck $h$ afin de définir le kilogramme.

 

Il est toutefois possible de faire rentrer toutes ces définitions dans un unique cadre : il s'agit à chaque fois de fixer la valeur numérique d'une grandeur physique bien choisie. C'est ce que nous expliquons dans ce début de partie, d'abord en reprenant les exemples ci-dessus :

  • La définition du kilogramme revient à dire que la masse $m_\text{PIK}$ du PIK a pour valeur numérique $1$ une fois exprimée en kilogramme. On a donc fixé la valeur numérique de $m_\text{PIK}$, à $\{m_\text{PIK}\} = 1$. Ainsi, $m_\text{PIK} = 1\,\mathrm{kg}$ par définition. Mais par définition de quoi ? Par définition de l'unité $\mathrm{kg}$ !

    Explorons les conséquences de cette définition. Il se trouve que la masse $m_\text{PIK}$ du PIK varie de quelques microgrammes par contamination au fil des ans. Elle s'écrit toutefois toujours $m_\text{PIK} = 1\,\mathrm{kg}$. Le 1 ne change pas, mais l'unité $\mathrm{kg}$ change donc de quelques microgrammes au grès des contaminations. Ce n'est évidemment pas une propriété souhaitable : une unité doit être définie par un étalon qui reste constant !

  • La définition du mètre est : "la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde". Ainsi d'après cette définition, en une seconde la lumière parcourt exactement une distance de $299\,792\,458$ mètres. Autrement dit, l'unité "un mètre" est telle que la vitesse de la lumière dans le vide, $c$, a pour valeur numérique exacte $\{c\} = 299\,792\,458$ lorsqu'exprimée en $\text{m/s}$. Cette définition revient donc à fixer la valeur numérique de la grandeur physique $c$.

  • La définition de la seconde est "la durée de $9\,192\,631\,770$ périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133". Ainsi d'après cette définition, la durée d'une oscillation de l'atome de césium est exactement de $1/9\,192\,631\,770$ seconde. Dit autrement, l'unité "une seconde" est telle que la période de cette radiation à pour valeur numérique exacte $\{T_\text{Cs}\} = 1/9\,192\,631\,770$ lorsqu'exprimée en seconde. Ou de façon équivalente, la fréquence associée a pour valeur numérique exacte $\{\Delta\nu_\text{Cs}\} = 9\,192\,631\,770$ lorsqu'exprimée en $\mathrm{s^{-1}}$. Cette définition revient donc à fixer la valeur numérique de la grandeur physique $\Delta\nu_\text{Cs}$.

  • La définition du kilogramme dans le SI d'après 2018 reviendra à fixer la valeur numérique de la constante de Planck $h$, c'est-à-dire qu'un kilogramme sera tel que $\{h\}$ vaut une certaine valeur exacte lorsque $h$ est exprimée en $\mathrm{kg\cdot m^2 \cdot s^{-1}}$. Nous y reviendrons.

Attention, soulignons bien que ce n'est jamais la valeur de la grandeur physique que l'on fixe, mais sa valeur numérique exprimée dans une unité ainsi définie. Par exemple ce n'est pas $m_\text{PIK}$ que l'on fixe (le cylindre de platine possède sa masse, et on ne peut rien y faire), mais sa valeur numérique lorsqu'exprimée en kg. Une grandeur physique $x$ ne dépend pas du choix de l'unité, mais "$x = \{x\}\,\text{unité}$" montre que si on fixe $\{x\}$ alors ceci défini l'unité, ou vice-versa que si l'unité est définie par ailleurs alors $\{x\}$ ne peut pas être choisie librement mais doit être mesurée.

En conclusion, le message principal de ce début de partie est donc :

Le mécanisme de définition d'une unité est à chaque fois le même : il s'agit de fixer la valeur numérique $\{x\}$ d'une constante ou d'une grandeur physique lorsque celle-ci est exprimée dans les unités ainsi définies.

 

Des questions...

Mais est-il gratuit de fixer ainsi la valeur numérique des constantes ? Quelle type de grandeur physique peut-on fixer ? Pourrait-on aussi fixer la valeur numérique de la constante de gravitation $G$ ? de la masse de l'électron ? Quid de celles sans dimensions ? Peut-on fixer des constantes à la valeur 1 comme le font les physiciens des particules ? Quelles unités obtient-on alors ? Nous allons répondre à ces question dans la suite.

 

1.b - Quel type de grandeur physique peut-on fixer ?

Considérons l'une des toutes premières versions du SI. Le kilogramme y était défini comme la masse de l'étalon du PIK, comme expliqué plus haut : la valeur numérique de $m_\text{PIK}$ est fixée à $\{m_\text{PIK}\} = 1$. D'autre part, la durée du jour servait à définir la seconde : une seconde était la durée d'une journée divisée par 86400. On considère donc cette fois la grandeur physique $T_\text{jour}$ (qui possède une valeur à laquelle on ne peut rien), et on décide qu'une seconde est telle que $T_\text{jour} = \{T_\text{jour}\}\,\mathrm{s}$ avec $\{T_\text{jour}\} = 86400$, ce qui permet de définir la seconde. Enfin, le mètre était défini à partir de la longueur d'une barre de platine. Ce système d'unités revient donc à fixer la valeur numérique de trois grandeurs physiques : \begin{equation*} \left\{ \begin{split} T_\text{jour} &= \{T_\text{jour}\}\,\mathrm{s} \\ L_\text{barre Pt} &= \{L_\text{barre Pt}\}\,\mathrm{m} \\ m_\text{PIK} &= \{m_\text{PIK}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*} avec $\{T_\text{jour}\}=86400$, $\{L_\text{barre Pt}\}=1$, $\{m_\text{PIK}\} = 1$.

Dans l'exemple de SI ci-dessus, chaque unité est définie en fixant une grandeur physique dont la dimension correspond à l'unité en question : $T_\text{jour}$ est un temps et fixe l'unité de temps, $L_\text{barre Pt}$ est une longueur et fixe l'unité de longueur, et $m_\text{PIK}$ est une masse et fixe l'unité de masse. Mais ceci n'est pas nécessaire. Par exemple, comme nous l'avons expliqué plus haut, la définition actuelle du mètre est effectuée en fixant la valeur numérique $\{c\} = 299\,792\,458$ de la vitesse de la lumière dans le vide $c$ lorsqu'exprimée en $\text{m/s}$. On peut donc très bien choisir de fixer la valeur numérique d'une grandeur physique dont la dimension ne correspond pas directement à celle de l'unité à définir.

C'est ainsi que le kilogramme est redéfini en 2018 en fixant la valeur numérique de la constante de Planck $h$, car l'unité SI de $h$ fait apparaître le kilogramme ($h$ est en $\mathrm{kg\cdot m^2 \cdot s^{-1}}$).

 

Autre exemple, dans le SI jusqu'en 2018, le système est le suivant : \begin{equation*} \left\{ \begin{split} \Delta\nu_\text{Cs} &= \{\Delta\nu_\text{Cs}\}\,\mathrm{s^{-1}} \\ c &= \{c\}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \\ m_\text{PIK} &= \{m_\text{PIK}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*} où $\Delta\nu_\text{Cs}$ est la fréquence de transition entre deux niveaux de l'atome de césium qui sert à définir l'unité seconde, $m_\text{PIK}$ est la masse du PIK qui sert à définir l'unité kilogramme, et $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide qui sert à définir l'unité mètre. Les trois valeurs numériques entre crochets sont fixées, par définition, à $\{\Delta\nu_\text{Cs}\} = 9\,192\,631\,770$, $\{c\} = 299\,792\,458$, $\{m_\text{PIK}\} = 1$.

 

1.c - Combien de valeurs numériques est-il possible de fixer ou faut-il fixer ?

Pour y répondre, il faut écrire les grandeurs physiques sous la forme "{valeur numérique} + unité". Par exemple supposons que nous définissons un système d'unités dans lequel les valeurs de $c$, $h$ et $G$ (constante de gravitation universelle) sont fixées : \begin{equation*} \left\{ \begin{split} c &= \{c\}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \\ h &= \{h\}\,\mathrm{kg\cdot m^2 \cdot s^{-1}} \\ G &= \{G\}\,\mathrm{m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}} \end{split} \right. \end{equation*} Il faut voir ceci comme un système d'équations, où :

  • Les membres de gauche sont les valeurs des constantes, elles sont fixées par la Nature et nous n'avons aucune emprise sur elles. Elles ne sont donc jamais libres.
  • Les membres de droite sont des couples "{valeur numérique} + unités", chacun apparaissant comme une variable libre. Ainsi fixer la valeur numérique implique la définition de l'unité. L'ensemble est contraint par les équations, comme dans tout système algébrique d'équations.

Si on se restreint aux trois unités mètre, seconde, kilogramme, on comprend immédiatement qu'il faut fixer les valeurs numériques de trois constantes (ni plus ni moins) pour définir les trois unités. Il n'est pas possible d'en fixer plus.

Reprenons l'exemple du SI d'avant 2018 : \begin{equation*} \left\{ \begin{split} \Delta\nu_\text{Cs} &= \{\Delta\nu_\text{Cs}\}\,\mathrm{s^{-1}} \\ c &= \{c\}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \\ m_\text{PIK} &= \{m_\text{PIK}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*} Les valeurs numériques étant fixées, et ne pouvant rien faire au valeur des grandeurs physiques elles-mêmes, ce système de trois équations ne comporte que trois inconnues : $\mathrm{s}$, $\mathrm{kg}$, $\mathrm{m}$, qui sont donc fixées. On peut d'ailleurs les isoler formellement : \begin{equation*} \left\{ \begin{split} 1\,\mathrm{s} &= 9\,192\,631\,770/\Delta\nu_\text{Cs} \\ 1\,\mathrm{m} &= 1\,\mathrm{s}\times c/299\,792\,458 \\ 1\,\mathrm{kg}&= m_\text{PIK} \end{split} \right. \end{equation*} Ceci ne dit rien de plus que les définitions : "$1\,\text{s}$ est la période de transition du césium multipliée par $9\,192\,631\,770$ ; $1\,\text{kg}$ est la masse du prototype international ; $1\,\text{m}$ est la distance parcourue par la lumière en $(1/299\,792\,458)\,\text{s}$".

Évidemment, comme les trois unités $\text{s}$, $\text{kg}$ et $\text{m}$ sont fixées par les définitions ci-dessus, il en résulte que toute autre constante ne faisant intervenir que ces unités (comme $G$, $h$, la masse d'un électron ou d'une autre particule, une autre vitesse, etc.) possède une valeur numérique qui n'est plus libre. Ces autres constantes doivent être mesurée (valeur + incertitude) dans le système d'unités $\text{s}$, $\text{kg}$, $\text{m}$ ainsi défini.

 

Dans le SI d'après 2018, le système est : \begin{equation*} \left\{ \begin{split} \Delta\nu_\text{Cs} &= \{\Delta\nu_\text{Cs}\}\,\mathrm{s^{-1}} \\ c &= \{c\}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \\ h &= \{h\}\,\mathrm{kg\cdot m^2 \cdot s^{-1}} \end{split} \right. \end{equation*} les trois valeurs numériques $\{\Delta\nu_\text{Cs}\}$, $\{c\}$ et $\{h\}$ étant fixées par définition, aux mêmes valeurs que précédemment pour les deux premières, et à $6.626\,070\,15\times10^{-34}$ pour $\{h\}$. Comme précédemment on peut inverser le système et isoler chacune des trois unités, ce qui montre bien qu'elles sont fixées. La valeur numérique de toute autre constante doit ainsi être mesurée, c'est donc maintenant le cas de $\{m_\text{PIK}\}$ : dans ce nouveau système d'unité, la masse du PIK pourra être mesurée (en fonction du nouveau kilogramme).

Notons que ces définitions n'indiquent en rien la façon pratique dont va être mesuré un kilogramme ! Aucun rapport avec une balance de Kibble ici. Ce que l'on nomme les "réalisations pratiques des étalons" doivent être précisée par ailleurs, et c'est là un des rôles du BIPM et des laboratoires de métrologie nationaux.

 

1.d - Peut-on fixer des grandeurs physiques à la valeur 1 comme le font les physiciens des particules ? Quelles unités obtient-on alors ?

Prenons un exemple. Dans le système d'unités de Planck, introduit par Planck en 1900, les valeurs numériques des constantes $c$, $h$ et $G$ sont fixées : \begin{equation*} \left\{ \begin{split} G &= \{G\}\,\mathrm{m'^3\cdot kg'^{-1}\cdot s'^{-2}} \\ c &= \{c\}\,\mathrm{m'\cdot s'^{-1}} \\ h &= \{h\}\,\mathrm{kg'\cdot m'^2 \cdot s'^{-1}} \end{split} \right. \end{equation*} avec le choix $\{G\} = 1$, $\{c\} = 1$, $\{h\} = 1$. Dans les cas vus jusqu'ici, les valeurs numériques sont fixées de sorte à ce que les unités ne changent pas au moment de la modification du SI. Le kilogramme entre l'ancien SI et le nouveau n'est plus le même, mais nous l'avons noté kg dans les deux cas car il correspond (au moment du changement et aux incertitudes expérimentales près) à la même masse. Ici ce n'est plus du tout le cas, c'est pourquoi nous avons noté avec un prime ' les nouvelles unités de Planck. Que valent-elles exprimées dans le SI ? Inversons le système : \begin{equation*}\small \left\{ \begin{split} 1\,\mathrm{kg'} &= \sqrt{\dfrac{hc}{G}} = 5.45\times10^{-8}\,\mathrm{kg} \\ 1\,\mathrm{s'} &= \sqrt{\dfrac{Gh}{c^5}} = 1.35\times10^{-43}\,\mathrm{s} \\ 1\,\mathrm{m'} &= \sqrt{\dfrac{Gh}{c^3}} = 4.04\times10^{-35}\,\mathrm{m} \end{split} \right. \end{equation*} Ceci donne les valeurs numériques de la masse de Planck, du temps de Planck et de la longueur de Planck dans le SI.

Notons bien que fixer la valeur numérique d'une constante à 1 n'est qu'un choix parmi d'autres. Il n'implique en aucun cas que cette constante disparaît des équations, ou qu'elle devient sans dimension. La dimension de $c$ est une vitesse, soit une longueur divisée par une durée, quel que soit le choix d'unité. Ceci n'implique pas non plus que les unités disparaissent : les $\mathrm{s'}$, $\mathrm{m'}$ et $\mathrm{kg'}$ sont toujours là.

La suite logique d'un tel choix d'unités est de réduire le nombre de dimensions indépendantes : par exemple compter les longueurs en seconde'-lumière. C'est là un fait qui touche plus au choix des dimensions indépendantes et que nous aborderons plus tard, peut-être. Soulignons que ce n'est pas parce que l'on choisit de mesurer les distances en seconde lumière que la dimension longueur devient assimilable à celle de durée : il n'en est absolument rien, le contenu physique de ces deux dimensions, tel que prescrit par la théorie dans laquelle elles vivent, reste distinct (et même en relativité générale la métrique possède toujours une signature de type -+++).

 

1.e - Bilan : les systèmes d'équations de définition des unités dans les différentes versions du SI

(nous nous intéressons uniquement aux unités mètre, seconde et kilogramme)

De 1791-1795 à 1889 :

\begin{equation*} \left\{ \begin{split} T_\text{jour} &= \{T_\text{jour}\}\,\mathrm{s} \\ L_\text{meridien} &= \{L_\text{meridien}\}\,\mathrm{m} \\ m_\mathrm{1\,dm^3\,d'eau} &= \{m_\mathrm{1\,dm^3\,d'eau}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*}

(le décimètre cube d'eau est d'abord considéré à 0°C, puis en 1799 à 4°C. En 1799, les définitions théoriques du mètre et du kilogramme sont réalisées par une barre en platine et un cylindre en platine déposés aux archives)

De 1889 à 1956 :

\begin{equation*} \left\{ \begin{split} T_\text{jour} &= \{T_\text{jour}\}\,\mathrm{s} \\ L_\text{barre Pt} &= \{L_\text{barre Pt}\}\,\mathrm{m} \\ m_\text{PIK} &= \{m_\text{PIK}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*}

(barre-Pt est une barre en platine iridié, fabriquée et déposée au bureau du BIPM avec le PIK, lui aussi en platine iridié et remplaçant l'ancien prototype en platine)

De 1956 à 1960 :

\begin{equation*} \left\{ \begin{split} T_\text{annee} &= \{T_\text{annee}\}\,\mathrm{s} \\ L_\text{barre Pt} &= \{L_\text{barre Pt}\}\,\mathrm{m} \\ m_\text{PIK} &= \{m_\text{PIK}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*}

De 1960 à 1967 :

\begin{equation*} \left\{ \begin{split} T_\text{annee} &= \{T_\text{annee}\}\,\mathrm{s} \\ \lambda_\text{Kr} &= \{\lambda_\text{Kr}\}\,\mathrm{m} \\ m_\text{PIK} &= \{m_\text{PIK}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*}

($\lambda_\text{Kr}$ est la longueur d'onde d'une radiation particulière du krypton)

De 1967 à 1983 :

\begin{equation*} \left\{ \begin{split} \Delta\nu_\text{Cs} &= \{\Delta\nu_\text{Cs}\}\,\mathrm{s^{-1}} \\ \lambda_\text{Kr} &= \{\lambda_\text{Kr}\}\,\mathrm{m} \\ m_\text{PIK} &= \{m_\text{PIK}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*}

De 1983 à 2018 :

\begin{equation*} \left\{ \begin{split} \Delta\nu_\text{Cs} &= \{\Delta\nu_\text{Cs}\}\,\mathrm{s^{-1}} \\ c &= \{c\}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \\ m_\text{PIK} &= \{m_\text{PIK}\}\,\mathrm{kg} \end{split} \right. \end{equation*}

Après 2018 :

\begin{equation*} \left\{ \begin{split} \Delta\nu_\text{Cs} &= \{\Delta\nu_\text{Cs}\}\,\mathrm{s^{-1}} \\ c &= \{c\}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \\ h &= \{h\}\,\mathrm{kg\cdot m^2 \cdot s^{-1}} \end{split} \right. \end{equation*}



  Site version 08/2018.
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